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长沙小升初奥数几何问题之格点与面积经典例题

来源:长沙奥数网原创   作者:徐丽老师   2012-09-18 11:16:07

  长沙小升初奥数几何问题之格点与面积经典例题。

  经典例题

  例1、图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形的面积。(小升初8月1号天天练)

  【详解】

  方法一(分割法):

  如图①做辅助线,将原图分割成A、B两个小三角形。这两个小三角形都以辅助线为底的话,A就是底边是1个面积单位三角形的4倍、高是1个面积单位三角形的1倍,所以A的面积是1个面积单位三角形的4×1倍,即4。   

  同理,B就是底边是1个面积单位三角形的4倍、高是1个面积单位三角形的2倍,所以B的面积是1个面积单位三角形的4×2倍,即8。   

  所以,原三角形面积为:4+8=12(面积单位)。

  方法二(扩展法)

  如图②将原图扩展成一个大的等边三角形,很明显这个等边三角形的边长是三角形格点的5倍,而四个扩展的三角形A、B、C、B的面积的求法与分割法中的求法类似,灵活运用倍数思想!

  大的等边三角形:5×5=25

  A:3×1=3
  B:2×1=2
  C:4×1=4
  D:4×1=4

  所以原三角形的面积为:25-3-2-4-4=12(面积单位)。

  方法三(毕克定理)

  运用三角形格点图的毕克定理,图形内部格点数为5,图形周界上格点数为4,所以,原三角形的面积为:(5+4÷2-1)×2=12(面积单位)。

  例2、如图是一组总面积为80平方厘米的七巧板,用它构成右图阴影部分的形状,这个形状内接与长方形,请问这个长方形的面积为多少?(小升初8月2号天天练)

  【详解】长方形的长、宽不知道,所以不能直接用面积公式,但是告诉了另一个参照图形--七巧板的面积,此时我们要努力找出两者之间的联系!之前我们一直给出的是在格点图中的图形,现在我们不妨自己来构造格点图!

  如图,将长方形分割成3×5个小正方形,而阴影面积一共占了8个小正方形,所以每个小正方形的面积是:80÷8=10(平方厘米),所以长方形的面积是:10×3×5=150(平方厘米)。

  例3、如图是一个正六边形,已知它的面积是54平方厘米,求阴影部分的面积。
(小升初8月3号天天练)    


  【详解】正六边形与正六角星都是典型的对称图形,我们先连接正六边形的3条对称抽,如图①所示,将正六边形分成了6个一样的正三角形。

  我们再来研究每个正三角形,如图②所示,我们将阴影小三角形顶点与正三角形顶点连接,不难看出,正三角形被分割成3个一样的小三角形(与阴影小三角形一样)。

  对于6个正三角形都进行同样的操作,如图③所以,这样我们将整个正六边形分割成了3×6=18个阴影小三角形,可以将阴影小三角形的面积看成是1个面积单位,那么整个阴影部分面积就是6个面积单位,所以阴影部分面积为:54÷18×6=18(平方厘米)。

  

  例4、如图,正六边形的面积是54,其中AP=2PF、CQ=2BQ,求阴影四边形CEPQ的面积。(小升初8月6号天天练)



  【详解】由题意知P、Q分别是AF、BC上的三等分点,我们不妨将正六边形每条边都三等分,再顺次连接这些点,如下图所示,即在例3中把正六边形分割成6个正三角形的基础上,再把每个正三角形又分割成3×3个更小的正三角形,这样我们就构造出了本专题中介绍的三角形格点图!并且所求的阴影四边形的各个顶点都在三角形格点上,所以是格点四边形,我们可以直接利用毕克定理来解题:这里N=13、L=7,所以S阴影四边形CEPQ=2N+L-2=2×13+7-2=31。

 


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