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长沙小升初奥数几何问题之格点与面积解题方法

来源:长沙奥数网原创   作者:徐丽老师   2012-09-18 10:49:27

  长沙小升初奥数几何问题之格点与面积解题方法。

  常见解题方法

    求格点图面积常见的几种方法:数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。

    (一)数格子法

    对于格点图里面的规则图形,我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积,或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量,代入公式解出面积即可!

    例、如下图,计算下列各个格点多边形的面积:(四年级8月1号天天练) 

  【详解】本题所给的图形都是规则图形,它们的面积运用公式直接可求,只要判断出相应的有关数据就行了。
  第(1)图是正方形,边长是4,所以面积是4×4=16(面积单位);
  第(2)图是矩形,长是5,宽是3,所以面积是5×3=15(面积单位);
  第(3)图是三角形,底是5,高是4,所以面积是5×4÷2=10(面积单位);
  第(4)图是平行四边形,底是5,高是3,所以面积是5×3=15(面积单位);
  第(5)图是直角梯形,上底是3,下底是5,高是3,所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位); 
  第(6)图是梯形,上底是3,下底是6,高是4,所以面积是(3+6)×4÷2=18(面积单位)。
    下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形,这也是本专题的重点!

  (二)分割法

  直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形,然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。

  (三)扩展法

  将原图形扩展成可直接计算面积的规则图形,同时扩展部分的图形面积也是可以直接计算的,那么原图形的面积就等于规则图形面积减去扩展部分的面积即可!

  例、如图所示,计算下面格点多边形的面积(五年级8月1号天天练)

  【详解】这虽然是一个规则的三角形,但是可以直接用面积公式计算,或者通过数格子么?好像不行,因为我们现在不能直接算出相应边的长度和高!现在尝试用分割法和扩展法来解!

  方法一(分割法):如图①做辅助线,将原图分割成两个小三角形。这两个小三角形都以辅助线为底的话,高也是很容易就观察出来的,都是2个单位长度,所以原三角形的面积为:5×2÷2×2=10(面积单位)。

  方法二(扩展法):如图②将原图扩展成一个长方形,很明显这个长方形的长、宽分别为6、4个单位长度,而三个扩展的三角形A、B、C的面积也是很容易求的!A:6×2÷2=6、B:4×2÷2=4、C:2×4÷2=4,所以原三角形的面积为:6×4-6-4-4=10(面积单位)。

  (四)毕克定理

  正方形格点图:若一个格点多边形内部有N个格点,它的边界上有L个格点,则它的面积为

    三角形格点图:如果S表示面积,N表示图形内包含的格点数,L表示图形周界上的格点数,那么有S=2×N+L-2
 
例、下图是一个812面积单位的图形,求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积。(五年级8月2号天天练)

  【详解】因为ABCDEFGH不是凸多边形,所以,连结GC、MN,则△ABH、矩形GCNM、△MFE、△EDN都是凸的图形,运用正方形格点图的毕克定理,
  故箭形ABCDEFGH的面积=(8+10÷2-1)+4×8+(4÷2-1)×2
                       =12+32+2=46(面积单位)。

  注意:无论是在正方形格点图还是在三角形格点图中,只要是格点凸多边形,我们一般都可以运用相应的毕克定理来解题,不过大家在数图形内部、边界上的格点数时要特别细心,不能数错了!三种求格点面积的方法比较通用就是毕克定理了,建议可以多用!

 


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